Vectơ

Bách khoa toàn thư phanh Wikipedia

Trong toán học tập, cơ vật lý và chuyên môn, véctơ (tiếng Anh: vector hoặc Hán-Việt: hướng lượng) là 1 đoạn trực tiếp được đặt theo hướng. Đoạn trực tiếp này biểu thị phương, chiều, sự cân đối (chiều lâu năm của vectơ). Ví dụ vô mặt mày phẳng phiu cho tới nhì điểm phân biệt A và B bất kì tao hoàn toàn có thể xác lập được vectơ .

Bạn đang xem: vector là gì

Một vectơ là tất cả những gì quan trọng nhằm "mang" điểm A tới điểm B; kể từ "vector" vô giờ Latin Tức là "người vận chuyển",^[1] lượt thứ nhất được dùng vì chưng những mái ấm thiên văn học tập thế kỷ 18 vô cuộc cách mệnh tham khảo những hành tinh ranh xoay quanh Mặt trời.^[2] Độ rộng lớn của vectơ là khoảng cách thân thiện 2 điểm và phía dịch trả kể từ điểm A tới điểm B. đa phần quy tắc toán đại số bên trên những số thực như nằm trong, trừ, nhân và phủ toan sở hữu sự tương tự động thân mật với vectơ, quy tắc toán tuân theo đòi những quy luật đại số không xa lạ của phó hoán, phối hợp và phân phối. Mỗi vectơ là 1 thành phần vô không khí vectơ, được xác lập vì chưng phụ vương yếu ớt tố: điểm đầu (hay điểm gốc), phía (gồm phương và chiều) và sự cân đối (hay chừng dài). Ví dụ, đoạn trực tiếp AB sở hữu điểm gốc là A, phía kể từ A cho tới B được gọi là vectơ AB, ký hiệu là . Vectơ được ký hiệu là hoặc , , , .

Trong giải tích, một vectơ vô không khí Euclid Rⁿ là 1 cỗ n số thực (x₁, x₂,..., x_n).

Có thể tưởng tượng một vectơ vô không khí Rⁿ là đoạn trực tiếp được đặt theo hướng (thường vẽ theo như hình mũi tên), đuôi ở gốc tọa chừng 0, mũi ở điểm (x₁, x₂,..., x_n).

Vectơ nhập vai trò cần thiết vô ngành cơ vật lý học: véc tơ vận tốc tức thời, tốc độ của một vật và lực tác dụng lên nó hoàn toàn có thể được màn trình diễn vì chưng vectơ.

Lịch sử[sửa | sửa mã nguồn]

Khái niệm về vectơ, như tất cả chúng ta biết thời nay, vẫn cải cách và phát triển từ từ trong vòng thời hạn rộng lớn 200 năm. Khoảng một chục con người vẫn để nhiều sức lực nhằm góp phần.^[3]

Giusto Bellavitis vẫn trừu tượng hóa phát minh cơ phiên bản vô năm 1835 khi ông thiết lập định nghĩa về việc chuẩn bị. Làm việc vô một phía phẳng phiu Euclide, ông tao vẫn dẫn đến ngẫu nhiên cặp phân phần đường này sở hữu nằm trong chừng lâu năm và phía. Về cơ phiên bản, ông quan sát một quan hệ tương tự bên trên những cặp điểm (lưỡng cực) vô mặt mày phẳng phiu và vì thế dựng lên không khí thứ nhất của vectơ vô mặt mày phẳng phiu.^[3]^:52–4

Thuật ngữ vectơ được William Rowan Hamilton trình làng như là 1 phần của tứ phương, là tổng q = s + v của một trong những thực s (còn gọi là vô hướng) và vectơ 3 chiều. Giống như Bellavitis, Hamilton vẫn coi những vectơ là đại diện thay mặt của những lớp phân khúc thị phần được kim chỉ nan chuẩn bị. Khi những số phức dùng một đơn vị chức năng tưởng tượng (số ảo) nhằm bổ sung cập nhật cho tới phần số thực, Hamilton coi vectơ v là phần số ảo của 1 phần tư:

Phần số ảo, được thiết kế hình học tập vì chưng một đường thẳng liền mạch hoặc vectơ nửa đường kính, rằng công cộng, so với từng bậc tư xác lập (quaternion), chiều lâu năm xác lập và phía xác lập vô không khí, hoàn toàn có thể được gọi là vectơ bộ phận, hoặc giản dị và đơn giản là vectơ tứ phương (quaternion).^[4]

Một số mái ấm toán học tập không giống vẫn cải cách và phát triển những khối hệ thống tương tự như vectơ vô vào giữa thế kỷ XIX, bao hàm Augustin Cauchy, Hermann Grassmann, August Möbius, Comte de Saint-Venant và Matthew O'Brien. Công trình năm 1840 của Grassmann Theorie der Ebbe und Flut (Lý thuyết về Ebb và Flow) là khối hệ thống phân tách không khí thứ nhất tương tự động như khối hệ thống thời nay và sở hữu phát minh ứng với tích được đặt theo hướng, tích vô phía và vectơ vi phân. Các nghiên cứu và phân tích của Grassmann phần rộng lớn bị chẳng chú ý cho tới trong thời gian 1870.^[3]

Peter Guthrie Tait đem chi tiêu chuẩn chỉnh bậc tư sau Hamilton. Chuyên luận về Đệ tứ năm 1867 của ông bao hàm chữa trị rộng thoải mái cho những người quản lý nabla hoặc del ∇.

Năm 1878, nhân tố biến hóa năng động được xuất phiên bản vì chưng William Kingdon Clifford. Clifford vẫn giản dị và đơn giản hóa nghiên cứu và phân tích Quaternion bằng phương pháp tách tích vô phía và tích sở hữu vị trí hướng của nhì vectơ kể từ phương trình Quaternion hoàn hảo. Cách tiếp cận này thực hiện cho những đo lường và tính toán véc tơ đã có sẵn trước cho những kỹ sư và những người dân thao tác làm việc theo đòi không khí phụ vương chiều và thiếu tín nhiệm về không khí tư chiều.

Josiah Willard Gibbs, ông và đã được xúc tiếp với những group tứ phương trải qua thường xuyên luận về năng lượng điện và kể từ tính của James Clerk Maxwell, vẫn tách thoát khỏi phần vectơ của mình nhằm đo lường và tính toán song lập. Nửa đầu của Phân tích vectơ của Gibbs, xuất phiên bản năm 1881, trình diễn về cơ phiên bản khối hệ thống phân tách vectơ tân tiến.^[3] Năm 1901, Edwin Bidwell Wilson vẫn xuất phiên bản Phân tích Vectơ, phỏng theo đòi những bài xích giảng của Gibb, vô này đã vô hiệu hóa vectơ tứ phương (Quaternion) trong những việc cải cách và phát triển quy tắc tính vectơ.

Xem thêm: yahoo powered là gì

Các định nghĩa cơ bản[sửa | sửa mã nguồn]

Độ rộng lớn của vectơ vô hình học tập được đo vì chưng chừng lâu năm đoạn trực tiếp AB, ký hiệu tương tự như ký hiệu độ quý hiếm tuyệt đối: gọi là chừng lâu năm của vectơ AB
Vectơ đơn vị chức năng là vectơ có tính lâu năm vì chưng 1, là vectơ quy ước nhằm đối chiếu.
Ngoài rời khỏi, các bạn cũng hoàn toàn có thể dễ dàng nhận ra 1 đặc thù nằm trong giản dị và đơn giản không giống của vectơ:
Vectơ-không là vectơ đặc biệt quan trọng sở hữu điểm đầu trùng với điểm cuối. Ký hiệu là hoặc
2 vectơ nằm trong phương khi giá bán của bọn chúng tuy nhiên song hoặc trùng nhau
2 vectơ đều nhau là 2 vectơ nằm trong phía (phương tuy nhiên tuy nhiên, nằm trong chiều) và sự cân đối đều nhau. Véctơ vì chưng véctơ được ký hiệu là .
2 vectơ đối nhau là 2 vectơ ngược phía (phương tuy nhiên tuy nhiên, ngược chiều) và sự cân đối đều nhau. Vectơ đối của véctơ là , tao sở hữu
Vectơ tự động do: vectơ hoàn toàn có thể dịch chuyển tịnh tiến thủ cho tới một điểm bất kì, thực ra là thay cho thế vì chưng một vectơ không giống vì chưng với vectơ cũ
Vectơ buộc: vectơ sở hữu điểm đầu cố định và thắt chặt, ko dịch chuyển được. Trong cơ vật lý, vectơ buộc được dùng để làm biểu thị những lực tính năng vô vị trí đặt lực.
Trong hệ tọa chừng Descartes, vectơ sở hữu điểm đầu đặt điều bên trên gốc hệ tọa chừng thì hoàn toàn có thể xác lập trọn vẹn vì chưng tọa chừng của điểm cuối của chính nó, là 1 cỗ số thực chuẩn bị trật tự vô mặt mày phẳng phiu và vô không khí. Trong không-thời gian ngoan tư chiều, tọa chừng này được xác lập vì chưng vô cơ c là vận tốc độ sáng, t là thời hạn.

Góc thân thiện 2 vectơ[sửa | sửa mã nguồn]

Cho 2 vectơ và . Từ điểm O vẽ và . Khi cơ đó là góc thân thiện và . Ký hiệu

Quy ước vô hình học

Phép toán bên trên vectơ[sửa | sửa mã nguồn]

Phép nằm trong nhì vectơ[sửa | sửa mã nguồn]

Quy tắc[sửa | sửa mã nguồn]

Phép nằm trong nhì vectơ: tổng của nhì vectơ và là 1 vectơ được xác lập theo đòi quy tắc:

Tính hóa học Vectơ[sửa | sửa mã nguồn]

Tính hóa học phó hoán

Tính hóa học kết hợp

Hiệu nhì vectơ[sửa | sửa mã nguồn]

Ta có:

Quy tắc trừ: Với 3 điểm A, B, C, tao sở hữu

Tích vectơ với 1 số[sửa | sửa mã nguồn]

Quy tắc[sửa | sửa mã nguồn]

Tính chất[sửa | sửa mã nguồn]

Với nhì vectơ bất kì, với từng số h và k, tao có

Trung điểm của đoạn trực tiếp và trọng tâm của tam giác[sửa | sửa mã nguồn]

Điều khiếu nại nhằm nhì vectơ nằm trong phương[sửa | sửa mã nguồn]

Điều khiếu nại cần thiết nhằm nhì vectơ và nằm trong phương là sở hữu một trong những k nhằm

Nếu và nằm trong phía thì

Xem thêm: cisco là gì

Nếu và ngược phía thì

Tích vô vị trí hướng của nhì vectơ[sửa | sửa mã nguồn]

Quy tắc[sửa | sửa mã nguồn]

Tích vô phía () của nhì vectơ a và b nhân với cosin của góc α thân thiện nhì vectơ đó

Các đặc thù của tích vô hướng[sửa | sửa mã nguồn]

Một số đặc thù phanh rộng[sửa | sửa mã nguồn]

Biểu thức tọa chừng của tích vô hướng[sửa | sửa mã nguồn]

Trong mặt mày phẳng:

Trong không khí 3 chiều:

Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]

Không gian ngoan vectơ
Tích được đặt theo hướng (nhân vectơ, tích ngoài)
Tích vô hướng

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

Nhà xuất phiên bản dạy dỗ - Sở dạy dỗ và huấn luyện - Sách giáo khoa Hình học tập 10
Nhà xuất phiên bản dạy dỗ - Sở dạy dỗ và huấn luyện - Sách giáo khoa Hình học tập 10 Nâng cao