Đại số tuyến tính là một trong những khí cụ cơ bạn dạng quan trọng cho tới việc dò thám hiểu học tập máy. Bài thứ nhất nhập chuỗi chủ thể này sẽ triệu tập nhập khái niệm một trong những định nghĩa cơ bạn dạng nhập đại số tuyến tính. Lưu ý rằng những định nghĩa tôi viết lách lại là bên dưới tầm nhìn của những người thực hiện thiết kế như tôi, nên ko Chắn chắn đáp ứng được xem nghiêm ngặt về mặt mũi toán học tập.
Bạn đang xem: ma trận là gì
Mục lục
1. Một số khái niệm
1.1. Vô phía (Scalar)
Một vô phía là một trong những bất kì nằm trong tập luyện số nào là cơ.
Khi khái niệm một trong những tao cần chứng tỏ tập luyện số tuy nhiên nó nằm trong nhập.
Ví dụ, $ n $ là số ngẫu nhiên sẽ tiến hành kí hiệu: $ n \in \mathbb{N} $,
hoặc $ r $ là số thực sẽ tiến hành kí hiệu: $ r \in \mathbb{R} $.
Một số thông thường hoàn toàn có thể khái niệm được bởi vì một loại tài liệu vẹn toàn thủy của những ngôn từ thiết kế.
Như số ngẫu nhiên hoàn toàn có thể là loại int, số thực hoàn toàn có thể là loại float nhập Python.
1.2. Véc-tơ (Vector)
Véc-tơ là một mảng của những vô phía tương tự động như mảng một chiều trong những ngôn từ thiết kế. Các thành phần nhập véc-tơ cũng khá được tấn công địa điểm và hoàn toàn có thể truy vấn nó qua quýt những địa điểm ứng của chính nó. Trong toán học tập, một véc-tơ hoàn toàn có thể là véc-tơ cột nếu như những nó được trình diễn dạng cột, hoặc hoàn toàn có thể là véc-tơ sản phẩm nếu như nó được trình diễn bên dưới dạng cột của những thành phần.
Một véc-tơ cột sở hữu dạng như sau:
$$ x = \begin{bmatrix} x_1 \cr x_2 \cr \vdots \cr x_n \end{bmatrix} $$
Một véc-tơ sản phẩm sở hữu dạng như sau: $$ x = \begin{bmatrix} x_1 & x_2 & \cdots & x_n \end{bmatrix} $$
Trong cơ, $ x_1 $, $ x_2 $, …, $ x_n $ là những thành phần thứ 1, thứ 2, … thứ n của véc-tơ.
1.3. Ma trận (Matrix)
Ma trận là một trong những mảng 2 chiều của những vô phía tương tự động như mảng 2 chiều trong những ngôn từ thiết kế. Ví dụ bên dưới đấy là một ma mãnh trận sở hữu $ m $ sản phẩm và $ n $ cột: $$ A = \begin{bmatrix} A_{1, 1} & A_{1, 2} & \cdots & A_{1, n} \cr A_{2, 1} & A_{2, 2} & \cdots & A_{2, n} \cr \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \cr A_{m, 1} & A_{m, 2} & \cdots & A_{m, n} \end{bmatrix} $$
Khi khái niệm một ma mãnh trận tao cần thiết chứng tỏ số sản phẩm và số cột nằm trong ngôi trường số của những thành phần sở hữu nó. Lúc này, $ mn $ được gọi là cấp cho của ma mãnh trận. Ví dụ, ma mãnh trận số thực $ A $ sở hữu m sản phẩm và n cột được kí hiệu là: $ A \in \mathbb{R}^{m \times n} $.
Các thành phần nhập ma mãnh trận được lăm le danh bởi vì 2 địa điểm sản phẩm $ i $ và cột $ j $ ứng. Ví dụ thành phần sản phẩm loại 3, cột thứ hai sẽ tiến hành kí hiệu là: $ A_{3,2} $. Ta cũng hoàn toàn có thể kí hiệu những thành phần của sản phẩm $ i $ là $ A_{i,:} $ và của cột $ j $ là $ A_{:,j} $. Nếu chúng ta nhằm ý thì tiếp tục thấy $ A_{i,:} $ đó là véc-tơ sản phẩm, còn $ A_{:,j} $ là véc-tơ cột. Như vậy, véc-tơ hoàn toàn có thể xem là tình huống đặt điều biệt của ma mãnh trận với số sản phẩm hoặc số cột là một.
1.4. Ten-xơ (Ternsor)
Ten-xơ là một trong những mảng nhiều chiều, nó là trưởng thích hợp tổng quát lác của việc trình diễn số chiều. Như vậy, ma mãnh trận hoàn toàn có thể xem là một ten-xơ 2 chiều, véc-tơ là ten-xơ một nhiều còn vô phía là ten-xơ vô chiều.
Các thành phần của một ten-xơ rất cần phải lăm le danh thông qua số địa điểm ứng với số chiều của ten-xơ cơ. Ví dụ mộ ten-xơ $ \mathsf{A} $ 3 chiều sở hữu thành phần bên trên sản phẩm $ i $, cột $ j $, cao $ k $ được kí hiệu là: $ \mathsf{A}_{i,j,k} $.
2. Một số ma mãnh trận đặc biệt
2.1. Ma trận không
Ma trận ko là ma mãnh trận tuy nhiên toàn bộ những thành phần của chính nó đều bởi vì 0: $ A_{i,j} = 0, \forall{i,j} $. Ví dụ:
$$ \varnothing = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \cr 0 & 0 & 0 & 0 \cr 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} $$
2.2. Ma trận vuông
Ma trận vuông là ma mãnh trận sở hữu số sản phẩm bởi vì với số cột: $ A \in R^{n \times n} $. Ví dụ một ma mãnh trận vuông cấp cho 3 (số sản phẩm và số cột là 3) sở hữu dạng như sau:
$$ A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 9 \cr 4 & 5 & 9 \cr 8 & 0 & 5 \end{bmatrix} $$
Với ma mãnh trận vuông, lối chéo cánh chính thức kể từ góc ngược bên trên nằm trong cho tới góc cần bên dưới nằm trong được gọi là lối chéo cánh chính: $ \{ A_{i,i} \} $
2.3. Ma trận chéo
Ma trận chéo cánh là ma mãnh trận vuông sở hữu những phần kể từ ở ngoài lối chéo cánh chủ yếu bởi vì 0: $ A_{i,j} = 0, \forall{i \not = j} $. Ví dụ ma mãnh trận chéo cánh cấp cho 4 (có 4 sản phẩm và 4 cột) sở hữu dạng như sau:
Xem thêm: rapid mode là gì
$$ A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \cr 0 & 2 & 0 & 0 \cr 0 & 0 & 3 & 0 \cr 0 & 0 & 0 & 4 \end{bmatrix} $$
Lưu ý rằng ma mãnh trận vuông ko (ma trận vuông sở hữu những thành phần bởi vì 0) cũng là một trong những ma mãnh trận chéo cánh.
2.4. Ma trận đơn vị
Là ma mãnh trận chéo cánh sở hữu những thành phần bên trên lối chéo cánh bởi vì 1: $$ \begin{cases} A_{i,j} = 0, \forall{i \not = j} \cr A_{i,j} = 1, \forall{i = j} \end{cases} $$
Ma trận đơn vị chức năng được kí hiệu là $ I_n $ với $ n $ là cấp cho của ma mãnh trận. Ví dụ ma mãnh trận đơn vị chức năng sở hữu cấp cho 3 được trình diễn như sau:
$$ I_{3} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \cr 0 & 1 & 0 \cr 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} $$
2.5. Ma trận cột
Ma trận cột đó là véc-tơ cột, tức là ma mãnh trận chỉ có một cột.
2.6. Ma trận hàng
Tương tự động như ma mãnh trận cột, ma mãnh trận sản phẩm đó là véc-tơ sản phẩm, tức là ma mãnh trận chỉ có một sản phẩm.
2.7. Ma trận gửi vị
Ma trận gửi vị là ma mãnh trận sẽ có được sau khoản thời gian tao thay đổi sản phẩm trở thành cột và cột trở thành sản phẩm.
$$ \begin{cases} A \in \mathbb{R}^{m,n} \cr B \in \mathbb{R}^{n,m} \cr A_{i,j} = B_{j,i}, \forall{i,j} \end{cases} $$
Ma trận gửi vị của $ A $ được kí hiệu là $ A^\intercal $. Như vậy: $ (A^\intercal)_{i,j} = A_{j,i} $.
Véc-tơ cũng là một trong những ma mãnh trận nên từng quy tắc toán với ma mãnh trận đều hoàn toàn có thể vận dụng được, bao hàm cả quy tắc gửi vị ma mãnh trận. Sử dụng quy tắc gửi vị tao hoàn toàn có thể vươn lên là một véc-tơ sản phẩm trở thành véc-tơ cột và ngược lại. Đôi khi nhằm viết lách cho tới ngắn ngủi gọi người tao thường được sử dụng quy tắc gửi vị nhằm khái niệm véc-tơ cột tương đương như: $ x = [x_1, x_2, …, x_n]^\intercal $.
3. Các kí hiệu
Để thuận tiện, kể từ ni về sau tôi tiếp tục khoác lăm le những vô phía, thành phần của ma mãnh trận (bao bao gồm cả véc-tơ) tuy nhiên tất cả chúng ta thao tác làm việc là nằm trong ngôi trường số thực $ \mathbb{R} $. Tôi cũng tiếp tục dùng một trong những kí hiệu bổ sung cập nhật như tiếp sau đây.
Các ma mãnh trận sẽ tiến hành kí hiệu: $ [A_{ij}]_{mn} $, nhập cơ $ A $ là tên gọi của ma mãnh trận; $ m, n $ là cấp cho của ma mãnh trận; còn $ A_{ij} $ là những thành phần của ma mãnh trận bên trên sản phẩm $ i $ và cột $ j $.
Các véc-tơ tao cũng tiếp tục trình diễn tương tự động. Véc-tơ hàng: $ [x_i]_n $, nhập cơ $ x $ là tên gọi của véc-tơ; $ n $ là cấp cho của véc-tơ; $ x_i $ là thành phần của véc-tơ bên trên địa điểm $ i $. Véc-tơ cột tao tiếp tục trình diễn trải qua quy tắc gửi vị của véc-tơ hàng: $ [x_i]_n ^\intercal $.
Ngoài đi ra, nếu như một ma mãnh trận được trình diễn bên dưới dạng: $ [A_{1j}]_{1n} $ thì tao cũng tiếp tục hiểu ngầm luôn luôn nó là véc-tơ sản phẩm. Tương tự động, với $ [A_{i1}]_{m1} $ thì tao hoàn toàn có thể hiểu ngầm cùng nhau rằng nó là véc-tơ cột.
Một vấn đề cần Note nữa là những độ quý hiếm $ m, n, i, j $ Khi được biểu điễn tường minh bên dưới dạng số,
ta cần được chèn vết phẩy , nhập thân mật bọn chúng.
Ví dụ: $ [A_{ij}]_{9,4} $ là ma mãnh trận sở hữu cấp cho là 9, 4. $ A_{5,25} $ là thành phần bên trên sản phẩm 5 và cột 25.
Việc này giúp chúng ta phân biệt được thân mật ma mãnh trận và véc-tơ, còn nếu không tao sẽ ảnh hưởng thiếu sót ma mãnh trận trở thành véc-tơ.
Trên đấy là một trong những định nghĩa cơ bạn dạng nhằm thao tác làm việc với ma mãnh trận, nhập phần sau tôi tiếp tục kể cho tới những quy tắc toán của ma mãnh trận. Việc thay đổi ma mãnh trận và những quy tắc toán bên trên ma mãnh trận là đặc biệt quan trọng nhằm thao tác làm việc với những vấn đề về học tập máy trong tương lai. Nếu chúng ta sở hữu vướng mắc hoặc chung ý gì thì nhớ là comment ở bên dưới nhé m(.)_(.)m.
Xem thêm: social2search là gì
Bình luận